Версия для слабовидящих
Муниципальное автономное
общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа № 93» г. Перми

Сайнакова Н. А., учитель математики

Изучение элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей

 

В программе основного общего образования отмечено, что блок «Элементы логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей» становится обязательным компонентом школьного образования, усиливающим его прикладное и практическое значение.

Современные стандарты и программы математического образования в основной школе предполагают пропедевтику основных понятий, знакомство на наглядном, интуитивном уровне с вероятностно-статистическими закономерностями в 5 – 6 классах, определение основных понятий, построение и изучение базовых вероятностно-статических моделей в 7 – 9 классах.

Изучение вопросов статистики и комбинаторики можно вводить в 5 – 6 классах уже сейчас, на базе учебников и учебных пособий. Так, предлагается в практически каждой теме решать с детьми комбинаторные задачи при изучении натуральных чисел, операциях над ними, обыкновенных, десятичных дробей, операций над десятичными дробями (5 кл.); при изучении делимости чисел, умножении и делении натуральных и отрицательных чисел, при решении уравнений (6 кл.) Министерством образования РФ перечислен примерный круг вопросов, на которые следует ориентироваться учителям при введении комбинаторики, статистики и теории вероятностей в основной  и старшей школе.  Причем рекомендуется начинать изучение этих вопросов уже в 5 классе, в курсе которого необходимо:

- познакомить учащихся с новым типом задач (комбинаторные задачи), приемами их решения – перебор возможных вариантов, построение дерева возможных вариантов, применение правила умножения;

- ввести новое понятие – факториал, закрепить его при решении задач, примеров, уравнений.

  

Задача 1.

 

Запишите все трехзначные числа, для записи которых употребляются только цифры 1 и 2.

Решение:

В записи числа на первом месте (в разряде сотен) может стоять цифра 1 или 2

1

 

 

 

Или

2

 

 

 

На втором месте (в разряде десятков) в каждом случае также может стоять одна из двух цифр 1 или 2

 0102

  

 

 

На третьем месте (в разряде единиц) в каждом из полученных четырех случаев также можно записать либо 1, либо 2

0304

 

 

  

 

 

 Получим восемь чисел:

111; 112; 121; 122; 211; 212; 221; 222.

 

Задача 2.

Имеются три слова “ДРУЖБА”, “ДЕЛО”, “ЛЮБИТ” (нарезать листочки с этими словами – по 7 карточек на каждое слово). Сколькими способами из этих слов можно составить фразу?

Ответ: 6 способов.

Здесь был приведен полный перебор всех возможных вариантов, или, как обычно говорят, всех возможных комбинаций. Поэтому это комбинаторная задача. Как можно записать, оформить решение этой задачи?

1 способ. Обозначим предложенные слова заглавными буквами:

ДРУЖБА – Д

ЛЮБИТ – Л

ДЕЛО – Е (возьмем вторую букву этого слова)

Тогда все названные способы можно просто перечислить: ДЛЕ, ДЕЛ, ЛДЕ, ЛЕД, ЕДЛ, ЕЛД.

2 способ.

Оказывается, решение можно оформить в виде модели, которую называют деревом возможных вариантов. Она, во-первых, наглядна, как всякая картинка, и, во-вторых, позволяет все учесть, ничего не пропустив.

Пословица






Способ 3 (рассуждение)

На первом месте может стоять одно из трех слов: ДРУЖБА, ЛЮБИТ, ДЕЛО. Если первое слово выбрано, то на втором месте может стоять одно из двух оставшихся слов, а на третьем месте – только одно оставшееся слово. Значит, всего вариантов: .

Заметим, что последний прием называется правилом умножения.

У каждого из этих трех способов есть свои преимущества и свои недостатки.  Отметим все же, что правило умножения позволяет в один шаг решать самые разнообразные задачи.

Задача 3.

В компании друзей – 6 человек: Андрей, Борис, Витя, Гриша, Дима, Егор. В школьной столовой за столом 6 стульев. Друзья решили каждый день, завтракая, рассаживаться на эти 6 стульев по-разному. Сколько раз они смогут это сделать без повторений?

Решение:

Для удобства рассуждений будем считать, что друзья усаживаются за стол поочередно. Будем считать, что первой усаживается за стол Андрей. У него 6 вариантов выбора стула. Вторым усаживается Борис, и независимо выбирает стул из 5 оставшихся. Витя делает свой выбор третьим и на выбор у него будет 4 стула. У Гриши будет уже 3 варианта, у Димы – 2, у Егора – 1. По правилу умножения получаем:

6*5*4*3*2*1=720

Ответ – 720 дней или почти 2 года.

 Как мы видим, условия задач разные, а решения, по сути дела, одинаковы. Удобно, поэтому ввести и одинаковые обозначения для этих ответов.

Определение: произведение всех натуральных чисел от 1 до п включительно называется п – факториал и обозначается символом п!

п! = 1*2*3*...*n

Знак п! читается “Эн факториал”, что в дословном переводе с английского языка обозначает “состоящий из пмножителей”. Отметим важную особенность этой величины – ее быстрый рост.

Задача 4.

Вычислите:

а) 1!; б) 2!; в) 3!; г) 4!; д) 5!; е)10!

Считают, что 0! =1.

 

  май, 2015 г.

Вернуться назад